TENTTI 20.5.1997 / MALLIVASTAUS

Tehtävä 3.
Lippuluukulle tulee asiakkaita pareittain, keskimäärin 6 paria tunnissa, pari ei kuitenkaan jää jonoon jos jonottamassa (palveltavan lisäksi) on enemmän kuin 4 asiakasta. Asiakkaita palvellaan jokaista erikseen siten että keskimääräinen palveluaika on 2 minuuttia. Sekä parien tuloaikojen väli että yhden asiakkaan palveluaika ovat eksponentiaalisesti jakautuneita. a) Mikä on jonon keskipituus?b) Millä todennäköisyydellä tuleva pari ei jää jonottamaan?

VASTAUS

Tehdään tilakaavio s.e. kukin tila saa tunnuksensa jonossa olevien asiakkaiden määrän mukaan. (Ts. Tila "3" tarkoittaa että 3 asiakasta on jonossa ja yhtä palvellaan.) Lisäksi tilaa, jossa ei ole ollenkaan asiakkaita merkitään tunnuksella "00".

Saapumisintensiteetti v = 6 / h, kerralla siirrytään 2 tilaa eteenpäin. Palveluintensiteetti y = 1 / h = 1 / 2min = 30 / h.

Supistetaan tilasiirtymiä 5:llä, jolloin saadaan seuraavat tilojen tasapainoyhtälöt:

{eli esim. yhtälö 6*P(00)=30*P(0) supistuu muotoon P(00)=5*P(1)}

Ratkaistaan tilojen todennäköisyydet

a) Jonon keskipituus = jonon koko * tilan tn.

= P(1) + 2*P(2) + 3*P(3) + 4*P(4) + 5*P(5) + 6*P(6) = 0,527 henkeä.

b) P("Tuleva pari ei jää odottamaan") = P(5) + P(6) = 0,015.