Asemahallissa on kaksi kengänkiillotuspaikkaa, A ja B. Asiakkaita
tulee keskimäärin 1 kappale 10 minuutissa, ja asiakkaan
palvelu kestää keskimäärin 10 minuuttia (oletetaan,
että palvelu on eksponentiaalisesti jakautunut).
Tuleva asiakas valitsee aina palvelupaikan A, jos se on vapaana,
muutoin palvelupaikan B. Jos molemmat ovat varattuja, asiakas
ei jää odottamaan vaan poistuu.
a) Mitkä ovat järjestelmän tilat?
b) Piirrä tasapainotilan kaavio.
c) Muodosta tasapainotilan yhtälöt.
d) Mitkä ovat eri tilojen todennäköisyydet?
e) Mitkä ovat paikan A ja B keskimääräiset
tulot tunnissa, kun kiillotus maksaa 20mk kerta.
a+b)
Saapumisintensiteetti:
Poistumisintensiteetti: 
c)
d)
e) Tunnissa käsitellään keskimäärin 6
asiakasta, joille tn. että ei pääse palveltavaksi:
Palvelupaikat A ja B ovat varattuna keskimäärin:
Asiakkaat siis jakautuvat em. suhteessa. Paikkojen ansiot:
A ansaitsee: 6 as/h x 0,5 x 20 mk/as = 60 mk/h
B ansaitsee: 6 as/h x 0,3 x 20 mk/as = 36 mk/h
Taksiasemalle tulee sekä uusia asiakkaita että takseja
Poisson-prosessin mukaisesti (eli saapumisten väliajat ovat
eksponentiaalisia). Asiakkaita tulee yksi kerrallaan keskimäärin
10 tunnissa ja takseja 20 tunnissa ja jos asiakas ja taksi kohtaavat
niin kyseinen pari poistuu välittömästi paikalta.
Asiakkaat jäävät aina odottamaan taksia, sensijaan
taksi jää asemalle ainoastaan, jos takseja on paikalla
ennestään korkeintaan 2
Laske todennäköisyys, että asiakkaan tullessa asemalle
paikalla on vähintään 1 taksi.
RATKAISU
Muodostetaan malli, jossa tilannumero kertoo paikalla olevien
taksien määrän. Tilanne, jossa paikalla on odottavia
asiakkaita, mutta ei takseja, merkitään negatiivisena
taksien määränä. Takseja voi maksimissaan
kolme kappaletta paikalla.
Tilakaavio, kun saapumisintensiteetti (=esim. kuinka monta taksia
tulee tunnissa) = 20/h ja palveluintensiteetti (=esim. kuinka
monta asiakasta tulee tunnissa) = 10/h.
Kuvasta saadaan tasapainoyhtälöt:
Tilayhtälöistä saadaan geometrinen sarja, joka
voidaan merkitä esim. seuraavasti:
Ja kun kysyttiin ehdolla P("paikalla vähintään
yksi taksi") saadaan
Haluttu todennäköisyys on siis 0,875.
Tarkastellaan modeemipoolia, jossa on kolme modeemia. Uusia kutsuja
tulee keskimäärin 5 minuutin välein ja yhteys kestää
keskimäärin 10 minuuttia.
a) Kuinka suuri osa tulevista kutsuista estyy, jos kutsut eivät
voi jäädä odottamaan (estojärjestelmä)?
Oletetaan että kutsut jäävät jonoon odottamaan
modeemin vapautumista (M/M/S-järjestelmä).
b) Kuinka suuri osa kutsuista joutuu odottamaan?
c) Mikä on keskimääräinen odotusaika?
d) Kuinka suuri osa kutsuista joutuu odottamaan yli 10 min?
Oletetaan, että jonotuspaikkoja on 5 kpl.
e) Millä todennäköisyydellä kutsu estyy (ei
pääse edes jonoon).
Ratkaisuja varten annetaan jonoteorian kaavoja M/M/S- ja M/M/S/N-
järjestelmille.
M/M/S:
M/M/S/N:
RATKAISUT
a) 3 modeemia: S = 3 (palvelupisteiden lukumäärä)
kutsutiheys l =
0,2 / min
yhteyden kesto 1 / m
= 10 min
=> tarjottu liikenne 
estojärjestelmä (ei voi jäädä
jonoon)
b) Kutsut jäävät jonoon M/M/S-järjestelmään
(odotuspaikkoja 
kappaletta).
Todennäköisyys, että kutsu joutuu
odottamaan:
missä 
on kohdasta a)
saatu esto.
c) Keskimääräinen odotusaika eli se
aika, joka joudutaan keskimäärin olemaan jonossa.
missä 
kohdasta b) todennäköinen
odotusaika.
yhteyden kestoaika = 10 min,
joten 
d) Kuinka suuri osa kutsuista joutui odottamaan yli
10 min?
t = 10 min, h = 10 min, S = 3, A = 2 ja 
kohdasta b) todennäköinen odotusaika.
e) M/M/S/N -järjestelmä, odotuspaikkoja
N = 5.
Todennäköisyys, että joutuu odottamaan:
missä 
on kohdasta a)
saatu esto.
Kutsuja estyy:
